数学建模竞赛本科组一等奖论文

字体大小:[] [] []         2006年9月13日         作者:         文章来源:

某中学福利房分配问题的讨论
                                 
【摘 要】学校福利分房是各学校对教师认可所采取的一种福利措施,涉及到全国各地区的中学和高校。由于各学校情况不同,不同的学校都制定不同的分房制度,以达到合理、科学地分房。本文就是讨论科学分房的问题。在本文中,讨论最终目标是对50位教师进行综合实力排名以确定分房的人员,由于教师具有不同的职称、工龄、学历、教学,他们之间在某一因素方面的影响程度比较好确定,另外职称、工龄、学历、教学对教师分房实力排名也可以确定,于是我们采取了层次分析法对50位教师分别在职称、工龄、学历、教学四个因素中的地位进行确定,并对职称、工龄、学历、教学四个因素在目标排名中地位也进行确定,最后得出目标排名;另外,上述方法精确度高,用于教师人员少的情况下非常有效,但当分房教师增加时,要得到精确的结论,必须加大投入,这样反而不经济了,而且当职称、工龄、学历、教学四个因素对目标方案的影响因素的程度由于各学校的对某一因素的重视程度不同而不好量化时,我们就提出了另一种方法:即对职称、工龄、学历、教学的不同情况赋予不同的分数,并且采用马氏距离的方法,得出最终的排名。在数据的分析和处理过程中,我们用到数学软件,即MATLAB。
【关键词】层次分析法(AHP),MATLAB, 判断矩阵, Perron-Frobenions定理,马氏距离,排名
 
 
一、  问题的重述
为认真贯彻执行国家、自治区关于城镇住房制度改革精神,结合全国学校现行住房制度改革,在各个学校职工住房分配中本着公开、公正、民主集中制原则,充分考虑各方权益,对福利房进行了合理有效的分配。本文就是讨论合理分房的问题,并一某学校为例: 某中学现有30套福利房欲分配给该校老师,该校有50位教师。学校经过全体老师讨论决定,分房只考虑下列因素:职称,共龄,学历,教学情况。具体的情况如下表1,请设计一个数学模型,合理分配这30套住房。
 
人员职称工龄学历教学人员职称工龄学历教学
P113031P263821
P212522P273522
P312122P283922
P412031P293523
P511922P303612
P611513P313421
P721412P323322
P821622P333232
P921322P343521
P102821P353422
P1121033P363633
P122931P373812
P132823P383511
P1421222P393322
P1521331P403421
P1621122P413122
P1721033P423521
P182722P433222
P192831P443333
P202932P453611
P2121022P463422
P2221122P473221
P2321322P483611
P2421022P493322
P252833P503122
表1
 
说明:1、职称中的1,2,3分别表示高级、中级、初级;
      2、学历中的1,2,3分别表示研究生、本科、专科;
      3、教学中的1,2,3分别表示好,一般,差。
 
 
二、条件的假设
在该问题中,要将现有的30套福利分房分配给该校50位教师,我们先对模型进行合理的假设:
1.假设30套房地位相同,即每位教师选取哪一套房都是公平的,即房屋的实际价值一样,关键是教师能不能选上房子;
2. 假设分房只考虑下列因素:职称、工龄、学历、教学情况;
3.在考虑工龄这一因素中,把不同的年龄分成几个年龄段,由于各年龄段内部年龄相差不是很大,为便于计算,我们假设各年龄段权重都相等;
4.每一位教师至多能够分到1套福利房
 
       
三、符号说明
Z:目标—教师分房实力排名;
P:因素,包括职称、工龄、学历、教学情况;
C:对象,P1,P2,…,P50;
A: 中间层对最高层的成对比较矩阵;
Au:教师在职称两两成对比较的判断矩阵;
Av:教师在工龄两两成对比较的判断矩阵;
Aw:教师在学历两两成对比较的判断矩阵;
Ax:教师在教学两两成对比较的判断矩阵;
Wi:对象C对各个因素P的相对重要性的权重,i=1,2,3,4;
W: 各个因素P对目标排名Z的相对重要性权重;
a:4列特征向量组成的矩阵;
max(i): i取1,2,3,4时分别表示判断矩阵Au,Av,Aw,Ax的最大特征值;
C.I.(i): i取1,2,3,4时分别表示判断矩阵Au,Av,Aw,Ax的一致性指标;
C.R.随机一致性比率;
 
四 、模型的建立与求解
 
由于层次分析法适用于决策较多而且不容易量化的决策问题,并且思路简单明了,我们将采用这种方法解决最终的教师分房实力排名,其步骤如下:
(一)、建立教师分房实力排名的层次结构模型:
将研究目标(Z),因素(P),对象(C)按相关关系分成最高层,中间层和最低层。层次结构图如下:
 
 
教师排名Z
 
最高层:
 
 
职称U
学历W
教学X
工龄V
 
中间层:
P1
P2
P3
P48
P49
P50
……
 
 
 
 
 
 
 
最低层:
 
(二)、构造两两比较的判断矩阵:
1、建立中间层对最高层的成对比较矩阵
根据定量化的尺度,并根据建模者的个人观点(可看作各学校的对职称、工龄、学历、教学某一因素的重视的不同程度),建立中间层对最高层的成对比较矩阵为A=
2、建立最低层与中间层的成对比较矩阵
用层次分析法解决各教师分别在职称、工龄、学历、教学方面的权重,计算出P1,P2,…,P50 50位人员在分别职称,工龄,学历,教学两两成对比较的判断矩阵Au,Av,Aw,Ax(详见附录1)
(三)、计算排序权重:
由Perron-Frobenions定理,非负矩阵存在正的最大模特征值,对应着正的特征向量。借助Matlab软件进行求取最大模特征根及相应特征向量的计算,再将所求的特征向量单位化后得到的就得到对象C对各个因素P的相对重要性的权重,记为Wi(i=1,2,3,4),且设a=[W1,W2,W3,W4],各个因素P对目标排名Z的相对重要性权重,记为W。
经过MATLAB软件的处理(详见附录1),最后,我们得到排名向量W=a*W并且得出下列教师分房实力排名表:
人员分房实力排名人员分房实力排名
P10.06411P260.021618
P20.05482P270.008438
P30.04514P280.011137
P40.05443P290.006148
P50.04515P300.013433
P60.03996P310.018919
P70.0278P320.008439
P80.02215P330.007247
P90.02216P340.018920
P100.02699P350.008440
P110.012934P360.004949
P120.025710P370.016130
P130.014132P380.023912
P140.016424P390.008441
P150.03147P400.018921
P160.016425P410.008442
P170.012935P420.018922
P180.016426P430.008443
P190.025711P440.004950
P200.015231P450.023913
P210.016427P460.008444
P220.016428P470.018923
P230.02217P480.023914
P240.016429P490.008445
P250.012936P500.008446
表2
(四)、一致性检验。 在判断矩阵的构造中,由于客观事物的复杂性和人的认识的多样性,判断矩阵不具有一致的。利用上述方法计算w1,w2,w3,w4时,当判断矩阵过于偏离一致性时,其可靠程度也可能出现问题,因此需要对判断矩阵的一致性进行检验
a.    判断一致性指标C.I.  
    C.I.=      则C.I.(1)= 0.0252, C.I.(1)= 0.0818, C.I.(1)= 0.0231, C.I.(1)= 0.0285
(由于A完全符合一致性标准,所以不用检验)
b.    查找相应的平均随机一致性指标R.I. 计算一致性比列C.R.。
由C.R.=C.I./R.I.并根据查找的结果,得到C.R.都满足C.R.<0.1,所以判断矩阵具有满意的一致性。
 
五、模型的优缺点及其改进方向
 
(一)、模型的优点:该模型在解决分房教师的人数较少时具有极大的优越性、它降低了人对分房决策的主观性,具有较高的准确度。对解决该类问题具有一定的合理性和科学性。
(二)、模型的缺点:该模型不易扩充,当要分房教师数目较大时,在采取层次分析法的过程中,我们所得到的判断矩阵非常庞大,而对里面的每一个数据都要经过人工进行权重比较分析,这样反而不经济了。
(三)、模型的改进方向:
1、在模型的建立和求解过程中,我们是采取的是层与层之间的对比,求得各教师分别在职称、工龄、学历、教学方面的权重,和职称、工龄、学历、教学四个因素在教师分房实力排名的影响程度。但在实际中,我们能够对各教师分别在职称、工龄、学历、教学方面的权重进行确定,但对职称、工龄、学历、教学四个因素在教师分房实力排名的影响程度就不好确定了,也不能用单一的数字来确定各自的影响程度。我们可以对最低层对中间层的影响采用层次分析法,而中间层对最高层的影响采用马氏距离方法,即对上述模型中的矩阵a进行处理,把a作为教师分房的实力指标(步骤可参考模型的改进方向2),最终也可得到教师分房实力排名。
2、当要分房教师数目较大时,我们分房的原则总是希望采取最小的成本以解决较庞大的数据,并且达到公平分房的目的。为克服上述(二)中的缺点,以达到经济分房的效果,我们采用赋分和马氏距离的方法。具体过程如下:
(1)、我们可以对职称中的1,2,3(初级)分别赋予20分,16分,12分;对学历中的1(研究生),2(本科生),3(专科)分别赋予20分,16分,12分;对教学中的1(好),2(一般),3(差)也分别赋予20分,16分,12分;而工龄按线性方法计算,即工作一年为1分,工作几年为几分。现在,我们分别选取各个人员的职称、工龄、学历、教学四个因素的积分作为教师分房的实力指标,以上述四个指标作为分量,构造出各个教师分房的实力向量。                   A=(W1i,W2i,W3i,W4i)(i=1,2,3……50)
由于各个人员的职称、工龄、学历、教学四个因素的积分是效益型指标(数值越大越好),我们得到的统一趋势化的矩阵即为A(见附录2中A显示)。
我们我们取矩阵B中各列元素的最大值作为分量得到理想教师的实力向量
U=( 20    30    20    20)
(2)、然后计算各教师与理想教师的马氏距离,显然与理想教师距离越小,则该教师名次越靠前。设x=(x1,x2,…,xp)T, y=(y1,y2,…,yp)T是从均值向量为 ,协方差矩阵为
D(x,y)= 我们用MATLAB软件计算距离(见附录2),并给出各教师实力名次排序,为了验证我们的结果的可靠性,我们又建立了最“差”教师(反向点),其分量为矩阵A中各列元素的最小值。显然,与反向距离越大的教师应该排名越前。我们得出如下表:
人员与理想点距离
(对应排序1)与反向点距离
(对应排序2)排序1排序2
P10.1966245781.99977198711
P20.3342612931.67689820622
P30.5652162311.43005545833
P40.6392597761.37775291844
P50.6851843191.30680254755
P60.9477061461.05825300866
P71.0924853520.90575718788
P80.9624641841.02380211777
P91.1466939880.8400831831010
P101.4534011340.5648718112221
P111.3418778190.6587020011715
P121.391517510.6000946861919
P131.4634494340.5291265042424
P141.2082259550.7790864351212
P151.1430489840.85978412199
P161.2698041630.7182627571313
P171.3418778190.6587020011816
P181.5164666770.4780190422627
P191.4497479580.5622296722122
P201.391517510.6000946862020
P211.3314221950.6576601691517
P221.2698041630.7182627571414
P231.1466939880.8400831831111
P241.3314221950.6576601691618
P251.4630388280.5351644422323
P261.5535388960.4845279632726
P271.7386616480.2811056893338
P281.4917292530.5059644262525
P291.744432730.2547828213639
P301.6868540460.3709337363032
P311.8008988230.2997550024036
P321.8622371450.1914925274243
P331.9187301920.1192835764650
P341.7390409740.3384478383433
P351.8004418510.2323790013841
P361.6801663670.3100362062935
P371.5631691510.4721725732828
P381.7504347680.3829850533731
P391.8622371450.1914925274344
P401.8008988230.2997550024137
P411.9858673730.1583589314947
P421.7390409740.3384478383534
P431.9240460770.1644036844746
P441.8636568840.1240144824549
P451.6885411650.4213002233129
P461.8004418510.2323790013942
P471.9246433650.2520608934840
P481.6885411650.4213002233230
P491.8622371450.1914925274445
P501.9858673730.1583589315048
表3
从表3可以看出排序1与排序2几乎一样,两种距离的相关系数为
R= -0.99186540144861
由Spearman相关系数计算公式Spr=1-6(d12+ d22+…+di2)/[n(n2-1)]
其中,di=P1i+P2i,其中P1i,P2i分别表示人员Pi在两种距离下的排序,我们得到秩相关系数为     Spr= 0.99990396158463
表明我们给出的方法具有较高的可靠性,用MATLAB软件对表2的两种排序的结果进行秩和比检验( =0.001),表明两种排序无明显差异。
另外,从我们建立的方法来看很容易推广到n位人员的情况。
 
六、模型的延伸  
 
1、由于房子限制,使有20个教师没有分配到房子,由于排在30名后的教师与30名前的教师实力相差不是很大,致使后20名教师产生怨言,而前30名得了“便宜”。我们可以根据各教师的实力给未分到房的教师提供额外的补偿。
2、上面的模型中,我们假设了30套房屋的实际价值是一样的,而在现实生活中往往各个房子的价格,地位等特征不同,所产生的实际价值也就不同了,这样,我们可以按照实际价值先给房屋进行由高到低的排名,并且与教师实力排名一一对应。如若遇到房子价格一定的。可由教师自由选择,排名前的有优先的选择权。
                七、 参考文献
 
[1] 徐玖平等,《运筹学》(第二版),北京:科学出版社,2004
[2] 阳明盛等,《MATLAB基础及数学软件》,大连:大连理工大学出版社,2003.8
[3] 胡守信等,《基于MATLAB的数学实验》,北京:科学出版社,2004
[4] 章栋恩,许晓革,《高等数学试验》,北京:高等教育出版社,2004.7
[5] 王耕禄,史荣昌,《矩阵理论》,北京:国防工业出版社,1998
 
八、附录
附录一:
U1=[1 1 1 1 1 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9];    
U2=[1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
    5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5];
U3=[1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 ...
        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];
Au=[U1;U1;U1;U1;U1;U1;U2;U2;U2;U2;U2;U2;U2;U2;U2;U2;U2;U2;U2;U2;U2;U2;U2;U2;U2;U3;U3;U3;U3;U3;U3;...
U3;U3;U3;U3;U3;U3;U3;U3;U3;U3;U3;U3;U3;U3;U3;U3;U3;U3;U3];
V9=[1 1 3 3 3 5 5 5 5 7 7 7 7 7 5 7 7 7 7 7 7 7 5 7 7 7 9 7 9 9 9 9 9 9 9 9 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9];
V7=[1/3 1/3 1 1 1 3 3 3 3 5 5 5 5 5 3 5 5 5 5 5 5 5 3 5 5 ...
     5   7  5 7 7 7 7 7 7 7 7 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7];
V5=[1/5 1/5 1/3 1/3 1/3 1 1 1 1 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 ...
     3   5   3   5   5  5 5 5 5 5 5 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5];
V3=[1/7 1/7 1/5 1/5 1/5 1/3 1/3 1/3 1/3 1 1 1 1 1 1/3 1 1 1 1 1 1 1 1/3 1 1 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3];
V1=[1/9 1/9 1/7 1/7 1/7 1/5 1/5 1/5 1/5 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/5 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/5 1/3 1/3 ...
     1/3 1 1/3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]; 
Av=[V9;V9;V7;V7;V7;V5;V5;V5;V5;V3;V3;V3;V3;V3;V5;V3;V3;V3;V3;V3;V3;V3;V5;V3;V3;V3;V1;V3;V1;V1;V1;V1;V1;V1;V1;V1;V3;V1;V1;V1;V1;V1;V1;V1;V1;V1;V1;V1;V1;V1];
W1=[9 5 5 9 5 1 1 5 5 5 9 9 5 5 9 5 9 5 9 9 5 5 5 5 9 ...
    5 5 5 5 1 5 5 9 5 5 9 1 1 5 5 5 5 5 9 1 5 5 1 5 5];
W2=[5 1 1 5 1 1/5 1/5 1 1 1 5 5 1 1 5 1 5 1 5 5 1 1 1 1 5 ...
    1 1 1 1 1/5 1 1 5 1 1 5 1/5 1/5 1 1 1 1 1 5 1/5 1 1 1/5 1 1];
W3=[1 1/5 1/5 1 1/5 1/9 1/9 1/5 1/5 1/5 1 1 1/5 1/5 1 1/5 1 1/5 1 1 1/5 1/5 1/5 1/5 1  1/5 1/5 1/5 1/5 1/9 1/5 1/5 1 1/5 1/5 1 1/9 1/9 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1 1/9 1/5 1/5 1/9 1/5 1/5];
Aw=[W3;W2;W2;W3;W2;W1;W1;W2;W2;W2;W3;W3;W2;W2;W3;W2;W3;W2;W3;W3;W2;W2;W2;W2;W3;W2;W2;W2;W2;W1;W2;W2;W3;W2;W2;W3;W1;W1;W2;W2;W2;W2;W2;W3;W1;W2;W2;W1;W2;W2];
X1=[1 5 5 1 5 9 5 5 5 1 9 1 9 5 1 5 9 5 1 5 5 5 5 5 9 ...
    1 5 5 9 5 1 5 5 1 5 9 5 1 5 1 5 1 5 9 1 5 1 1 5 5];
X2=[1/5 1 1 1/5 1 5 1 1 1 1/5 5 1/5 5 1 1/5 1 5 1 1/5 1 1 1 1 1 5 ...
   1/5 1 1 5 1 1/5 1 1 1/5 1 5 1 1/5 1 1/5 1 1/5 1 5 1/5 1 1/5 1/5 1 1];
X3=[1/9 1/5 1/5 1/9 1/5 1 1/5 1/5 1/5 1/9 1 1/9 1  1/5 1/9 1/5 1 1/5 1/9 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1 ...
   1/9 1/5 1/5 1 1/5 1/9 1/5 1/5 1/9 1/5 1 1/5 1/9 1/5 1/9 1/5 1/9 1/5 1 1/9 1/5 1/9 1/9 1/5 1/5];
Ax=[X1;X2;X2;X1;X2;X3;X2;X2;X2;X1;X3;X1;X3;X2;X1;X2;X3;X2;X1;
X2;X2;X2;X2;X2;X3;X1;X2;X2;X3;X2;X1;X2;X2;X1;X2;X3;X2;X1;X2;X1;X2;X1;X2;X3;X1;X2;X1;X1;X2;X2];
A=[1 1 3 1;1 1 3 1;1/3 1/3 1 1/3;1 1 3 1];
[P1,R1]=eig(Au);
[P2,R2]=eig(Av);
[P3,R3]=eig(Aw);
[P4,R4]=eig(Ax);
[p,r]=eig(A);
t1=reshape(R1,1,2500);
t2=reshape(R2,1,2500);
t3=reshape(R3,1,2500);
t4=reshape(R4,1,2500);
t=reshape(r,1,16);
m1=max(t1);
m2=max(t2);
m3=max(t3);
m4=max(t4);
m=max(t);
CI1=(m1-50)/(50-1);
CI2=(m2-50)/(50-1);
CI3=(m3-50)/(50-1);
CI4=(m4-50)/(50-1);
CI=(m-4)/(4-1);
[i1,j1]=find(R1>=m1);
[i2,j2]=find(R2>=m2);
[i3,j3]=find(R3>=m3);
[i4,j4]=find(R4>=m4);
[i,j]=find(r>=m);
W1=P1(:,j1);
W2=P2(:,j2);
W3=P3(:,j3);
W4=P4(:,j4);
W=p(:,j);
W1=W1/sum(W1);
W2=W2/sum(W2);
W3=W3/sum(W3);
W4=W4/sum(W4);
W=W/sum(W);
a=[W1,W2,W3,W4];
Z=a*W;   %最终排名向量
CI1,CI2,CI3,CI4,a,Z
 
附录2:
A=[20 30 12 20;20 25 16 16;20 21 16 16;20 20 12 16;20 19 16 16;
20 15 20 12;16 14 20 16;16 16 16 16;16 13 16 16;16  8 16 20; 
16 10 12 12;16  9 12 16;16  8 16 12;16 12 16 16;16 13 12 20;
16 11 16 16;16 10 12 12;16  7 16 16;16  8 12 20;16  9 12 16;
16 10 16 16;16 11 16 16;16 13 16 16;16 10 16 16;16  8 12 12;
12  8 16 20;12  5 16 16;12  9 16 16;12  5 16 12;12  6 20 16;
12  4 16 20;12  3 16 16;12  2 12 16;12  5 16 20;12  4 16 16;
12  6 12 12;12  8 20 16;12  5 20 20;12  3 16 16;12  4 16 20;
12  1 16 16;12  5 16 20;12  2 16 16;12  3 12 12;12  6 20 20;
12  4 16 16;12  2 16 20;12  6 20 20;12  3 16 16;12 1 16 16];
G=[A(:,1), A(:,2), A(:,3),A(:,4)];
u=max(G);
v=min(G);
b=[u’,v’];
for i=1:50
    m(i)=sqrt((u-G(i,:))*cov(G)*(u-G(i,:))’);
    %与理想点的距离
end
for i=1:50
    n(i)=sqrt((v-G(i,:))*cov(G)*(v-G(i,:))’);
    %与反向点的距离
end
R=corrcoef(m,n);   %Spearman相关系数
Spr=1-6*2/(50*(50^2-1));
 
P1=[1 2 3 4 5 6 8 7 10 22 17 19 20 12 9 13 18 26 21 20 15 14 11 16 23 ...
27 33 25 36 30 40 42 46 34 38 29 28 37 43 41 49 35 47 45 31 39 48 32 44 50];
>> P2=[1 2 3 4 5 6 8 7 10 21 15 19 24 12 9 13 16 27 22 20 17 14 11 18 23 ...
26 28 25 39 32 36 43 50 33 41 35 28 31 44 37 47 34 46 40 29 42 40 30 45 48];
[p,h]=signrank(P1,P2,0.001)
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