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2006年“高教杯”全国大学生数学建模竞赛试

字体大小:[] [] []         2006年9月18日        作者:         文章来源:

 A题:出版社的资源配置
 出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等,它们都捆绑在书号上,经过各个部门的运作,形成成本(策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等)和利润。
某个以教材类出版物为主的出版社,总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析,将总量一定的书号数合理地分配给各个分社,使出版的教材产生最好的经济效益。事实上,由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量,因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后,各个分社(分社以学科划分)根据分配到的书号数量,再重新对学科所属每个课程作出出版计划,付诸实施。
资源配置是总社每年进行的重要决策,直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于市场信息(主要是需求与竞争力)通常是不完全的,企业自身的数据收集和积累也不足,这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。
本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料,请你们根据这些数据资料,利用数学建模的方法,在信息不足的条件下,提出以量化分析为基础的资源(书号)配置方法,给出一个明确的分配方案,向出版社提供有益的建议。
[附录]
附件1:问卷调查表;
附件2:问卷调查数据(五年);
附件3:各课程计划及实际销售数据表(5年);
附件4:各课程计划申请或实际获得的书号数列表(6年);
附件5:9个分社人力资源细目。
 B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测
 艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一,从1981年发现以来的20多年间,它已经吞噬了近3000万人的生命。
 艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”,英文简称AIDS,它是由艾滋病毒(医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV)引起的。这种病毒破坏人的免疫系统,使人体丧失抵抗各种疾病的能力,从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用,当CD4被HIV感染而裂解时,其数量会急剧减少,HIV将迅速增加,导致AIDS发作。
 艾滋病治疗的目的,是尽量减少人体内HIV的数量,同时产生更多的CD4,至少要有效地降低CD4减少的速度,以提高人体免疫能力。
 迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法,目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用,而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。
现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。 ACTG320(见附件1)是同时服用zidovudine(齐多夫定),lamivudine(拉美夫定)和indinavir(茚地那韦)3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度(每毫升血液里的数量)。193A(见附件2)是将1300多名病人随机地分为4组,每组按下述4种疗法中的一种服药,大约每隔8周测试的CD4浓度(这组数据缺HIV浓度,它的测试成本很高)。4种疗法的日用药分别为:600mg zidovudine或400mg didanosine(去羟基苷),这两种药按月轮换使用;600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine(扎西他滨);600 mg zidovudine加400 mg didanosine;600 mg zidovudine加400 mg didanosine,再加400 mg nevirapine(奈韦拉平)。
请你完成以下问题:
(1)利用附件1的数据,预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗终止时间(继续治疗指在测试终止后继续服药,如果认为继续服药效果不好,则可选择提前终止治疗)。
(2)利用附件2的数据,评价4种疗法的优劣(仅以CD4为标准),并对较优的疗法预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗终止时间。
(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下:600mg zidovudine 1.60美元,400mg didanosine 0.85美元,2.25 mg zalcitabine 1.85美元,400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用,对(2)中的评价和预测(或者提前终止)有什么改变。
 C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计
 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来,这并非偶然,这应该是某种意义下的最优设计。当然,对于单个的易拉罐来说,这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的,但是如果是生产几亿,甚至几十亿个易拉罐的话,可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说,请你们完成以下的任务:
1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐,例如355毫升的可口可乐饮料罐,测量你们认为验证模型所需要的数据,例如易拉罐各部分的直径、高度,厚度等,并把数据列表加以说明;如果数据不是你们自己测量得到的,那么你们必须注明出处。
2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计?其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸,例如说,半径和高之比,等等。
3. 设易拉罐的中心纵断面如下图所示,即上面部分是一个正圆台,下面部分是一个正圆柱体。
 
什么是它的最优设计?其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力,做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
5. 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验,写一篇短文(不超过1000字,你们的论文中必须包括这篇短文),阐述什么是数学建模、它的关键步骤,以及难点。
 D题: 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制
 煤矿安全生产是我国目前亟待解决的问题之一,做好井下瓦斯和煤尘的监测与控制是实现安全生产的关键环节(见附件1)。
瓦斯是一种无毒、无色、无味的可燃气体,其主要成分是甲烷,在矿井中它通常从煤岩裂缝中涌出。瓦斯爆炸需要三个条件:空气中瓦斯达到一定的浓度;足够的氧气;一定温度的引火源。
煤尘是在煤炭开采过程中产生的可燃性粉尘。煤尘爆炸必须具备三个条件:煤尘本身具有爆炸性;煤尘悬浮于空气中并达到一定的浓度;存在引爆的高温热源。试验表明,一般情况下煤尘的爆炸浓度是30~ 2000g/m3,而当矿井空气中瓦斯浓度增加时,会使煤尘爆炸下限降低,结果如附表1所示。
国家《煤矿安全规程》给出了煤矿预防瓦斯爆炸的措施和操作规程,以及相应的专业标准 (见附件2)。规程要求煤矿必须安装完善的通风系统和瓦斯自动监控系统,所有的采煤工作面、掘进面和回风巷都要安装甲烷传感器,每个传感器都与地面控制中心相连,当井下瓦斯浓度超标时,控制中心将自动切断电源,停止采煤作业,人员撤离采煤现场。具体内容见附件2的第二章和第三章。
附图1是有两个采煤工作面和一个掘进工作面的矿井通风系统示意图,请你结合附表2的监测数据,按照煤矿开采的实际情况研究下列问题: 
(1)根据《煤矿安全规程》第一百三十三条的分类标准 (见附件2),鉴别该矿是属于“低瓦斯矿井”还是“高瓦斯矿井”。
(2)根据《煤矿安全规程》第一百六十八条的规定,并参照附表1,判断该煤矿不安全的程度(即发生爆炸事故的可能性)有多大?
(3)为了保障安全生产,利用两个可控风门调节各采煤工作面的风量,通过一个局部通风机和风筒实现掘进巷的通风(见下面的注)。根据附图1所示各井巷风量的分流情况、对各井巷中风速的要求(见《煤矿安全规程》第一百零一条),以及瓦斯和煤尘等因素的影响,确定该煤矿所需要的最佳(总)通风量,以及两个采煤工作面所需要的风量和局部通风机的额定风量(实际中,井巷可能会出现漏风现象)。
注  掘进巷需要安装局部通风机,其额定风量一般为150~400 m3/min。局部通风机所在的巷道中至少需要有15%的余裕风量(新鲜风)才能保证风在巷道中的正常流动,否则可能会出现负压导致乏风逆流,即局部通风机将乏风吸入并送至掘进工作面。
名词解释
(1)采煤工作面:矿井中进行开采的煤壁 (采煤现场)。
(2)掘进巷:用爆破或机械等方法开凿出的地下巷道,用以准备新的采煤区和采煤工作面。
(3)掘进工作面:掘进巷尽头的开掘现场。
(4)新鲜风:不含瓦斯和煤尘等有害物质的风流。
(5)乏风:含有一定浓度的瓦斯和煤尘等有害物质的风流。
  具体可查阅www.mcm.edu.cn
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